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By G. Doetsch

Während der I. Band die theoretischen Grundlagen der Laplace-Transforma­ tion zum Gegenstand hat, behandelt der vorliegende II. und der nachfolgende III. Band die Anwendungen, wobei es sich natürlich nicht nur um sogenannte «angewandte Mathematik», sondern um die verschiedensten Gebiete der reinen und angewandten Mathematik handelt, in welche die Laplace-Transformation als Hilfsmittel eingreift. Nachdem die Lösung von Funktionalgleichungen vermittels Laplace-Trans­ formation heutzutage Allgemeingut geworden ist, scheint mir dasjenige An­ wendungsgebiet, dessen Kenntnis vor allem verbreitet werden sollte, die Theorie der asymptotischen Entwicklungen zu sein. Aus diesem Grund sind diese als I. Teil an die Spitze des II. Bandes gestellt worden. Sowohl in der Theorie als in der Praxis spielen eigentlich die asymptotischen Entwicklungen eine grössere Rolle als die konvergenten Reihen, die den meisten Mathematikern und Inge­ nieuren aber viel geläufiger sind, weil sie im Unterricht der Hochschulen und in den Lehrbüchern einen erheblich breiteren Raum einnehmen als die asympto­ tischen Entwicklungen. Um die letzteren mehr in den Vordergrund zu schieben und um die erstaunlichen Möglichkeiten hervorzuheben, die die Laplace-Trans­ formation gerade auf diesem Gebiet eröffnet, habe ich die aus der ein- und zwei­ seitigen Laplace-Transformation (oder in anderem Gewand: der Mellin-Transfor­ mation) sowie aus dem komplexen Umkehrintegral fliessenden asymptotischen Methoden besonders weitgehend ausgearbeitet und durch viele Beispiele illu­ striert.

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Eine besondere Festlegung erfordert hierbei der Spezialfall der <

V~O v! F((1/2)- v) 2• Strebt z durch reelle Werte gegen +oo, so sind gleichsteilige Glieder in den beiden Reihen von gleicher Grössenordnung, wir müssen sie also zusammenfassen: l /2 00 1 r((l/2) + v) -· ( n; fo(z) ~ li2•v! F((1/2)-v) z cos z+vz-- 4 . n;) v-;:z Strebt dagegen z längs der positiv imaginären Achse gegen oo: z = i r, r positiv reell, so ist e•• =e-r, e-•• =er. Jedes Glied der ersten Reihe ist also von geringerer Grössenordnung als jedes der zweiten, infolgedessen kommt nur letztere zum Zuge, und die erste bleibt ganz ausser Betracht.

1! = ~ n! x" + ··· +n! · (1 + ~n + n (n1) n 2 _ n" j e_" (1 + n} X\" d x-nT _ e" j e -nr 00 00 0 -T -r d-r, ,. (n) E(n) = F(n 1 + 1) .. -T 7: "d 7: • + ... + ~) n" 61 § 2. Beispiele: 6. Entwicklungen mit logarithmischem Faktor Von dem rechts stehenden Ausdruck haben wir bewiesen, dass er gegen 1/2 strebt für n -+ oo, also gilt dasselbe für den linken. Das bedeutetl 6 : Wird die Exponentialreihe für den Wert n mit dem höchsten Glied n nfn! abgebrochen*), so liefert sie asymptotisch den Wert enf2.

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